معلومات أساسية في الإحصاء اد/نادية بعيبع

1/ الإحصاء الوصفي





















أ. مقدمة :
إن هدف البحث العلمي في ميادين علم النفس و علوم التربية في الغالب يهتم بوصف الظواهر النفسية و التربوية و تصنيفها. و يعتمد التصنيف على : تصنيف وصفي، و تصنيف إحصائي( التكرارات ).
و تلجأ هذه البحوث أيضا إلى تطبيق بعض المعادلات الرياضية( الإحصائية) لترتفع بمستوى النتائج المتحصل عليها( الموضوعية) كالبحوث الارتباطية مثلا التي تقوم على محاولة إيجاد الرابطة أو العلاقة بين المتغيرات باستخدام طرق إحصائية معينة، أو البحوث التجريبية التي تقارن بين التغير الطارئ على مجموعتين أو أكثر( ضابطة – تجريبية )، و تعالج هذه المقارنة بطرق إحصائية معينة أيضا.
و يبقى الهدف الأساسي لاستخدام الطرق الإحصائية المختلفة هو اختصار المادة ( أو المعلومات أو البيانات) الكمية التي يجمعها الباحث في شكل وصفي ذو معنى، و التي تكون فيما بعد محل استنتاجات معينة.













ب- بعض الأساليب الإحصائية المستخدمة في البحوث الإنسانية

1/ المنحنيات البيانية

إن المنحنيات البيانية تلفت النظر إلى توزيع الظاهرة المقاسة و إلى وضعها الراهن في المجموعة بسرعة و بطريقة لا تتوفر في غيرها من التمثيل الإحصائي في البيانات الرقمية. و لهذا تستخدم طريقة التمثيل بالرسم البياني كثيرا في الإعلان و الدعاية اعتمادا على ما لهذه الطريقة من قدرة على توجيه الانتباه إلى ما تمثله من حقائق. و من الممكن أن يستفيد منها المعلم مثلا في جمع بيانات سريعة عن مستوى تحصيل تلاميذه و عن إمكانية الاختبار المستخدم في التمييز بين المستويات المختلفة... كما يمكن استخدامها في جمع بيانات سريعة عن الفروق الفردية بين تلاميذه أيضا... و أن يأخذ فكرة عن الامتحان و مدى ملائمته لتحصيل التلاميذ و استعداداتهم... فيكون ذلك من دوافع تقدمهم في التعلم...
و هناك أربعة طرق لتمثيل التوزيعات التكرارية بالرسم البياني، و هي :
- المضلع التكراري.
- المدرج التكراري.
- منحنى التكرار المتجمع.
- المنحنى الميئيني.








2/ مقاييس النزعة المركزية

إن المقصود بالنزعة المركزية هو ميل أفراد إلى التجمع في مركزها. إذ نجد أن نسبة كبيرة من الأفراد يحصلون على درجات تتدرج في فئة معينة، و أن نسبة متناقصة منهم تحصل على درجات أعلى، و نسبة متناقصة منهم أيضا تحصل على درجات اقل.

و مقاييس النزعة المركزية هي :
1.2- المتوسط الحسابي :

1- في حالة البيانات غير المجمعة : المتوسط = آو
2- في حالة البيانات المجمعة : المتوسط=

أما إذا كان عدد الحالات كبيرا جدا فإن الدرجات تجمع في فئات و تستخدم طريقة المتوسط الفرضي( أو ما يعرف بمركز الفئات ذات اكبر تكرار) و الذي يساوي :

المتوسط= المتوسط الفرضي + سعة الفئة x

2.2- الوسيط :
هو القيمة الوسيطية التي يكون عدد القيم التي تعلوها مساويا لعدد القيم التي تليها. أو هو الدرجة التي تقسم توزيع الدرجات إلى قسمين متساويين.
و يمكن حابه بالطريقة التالية :


1- في حالة البيانات غير المجمعة ترتب الدرجات تصاعديا و يحسب الوسيط بالمعادلة التالية :

الوسيط= ( إذا كان عدد الحالات فرديا).
ن : القيمة المتوسطة في الترتيب التصاعدي.
أو
الوسيط= ( إذا كان عدد الحالات زوجيا ).
ن1 و ن2 : القيمتين المتوسطتين في الترتيب التصاعدي.

2- في حالة البيانات المجمعة يمكن حساب الوسيط بالمعادلة التالية :
الوسيط= س+( )
حيث :
س : الحد الأدنى الحقيقي لدرجة الوسيط
ن : عدد الحالات.
ت م : التكرار المتجمع للدرجة السابقة لدرجة الوسيط
ت : تكرار درجة الوسيط

3- أما إذا رتبنا الدرجات في فئات، فإنه يمكن حساب الوسيط بالمعادلة التالية :
الوسيط= س + ( ) x ل
حيث :
س : الحد الأدنى الحقيقي لفئة الوسيط
ن : عدد الحالات
ت م : التكرار المتجمع للفئة السابقة لفئة الوسيط
ت : تكرار فئة الوسيط
ل : سعة الفئة
3.2 المنوال :
هو القيمة التي تقابل اكبر تكرار، و في حالة البيانات المجمعة في فئات يمثل المنوال منتصف الفئة الأكثر تكرارا في التوزيع. و يعتبر المنوال اقل دقة من المتوسط و الوسيط في التعبير عن النزعة المركزية. و يمكن حسابه أيضا عن طريق المعادلة التالية :
المنوال=( 3 x الوسيط )– ( 2 x المتوسط)




أ

3/ مقاييس الوضع النسبي

1.3 الرتبة :
تشير إلى الوضع النسبي لفرد معين في مجموعة معينة. و ترتب الرتب عادة ترتيبا تنازليا حيث تبدأ من أعلى رتبة إلى اقلها.

2.3- الميئينيات :
يعرف الميئين بأنه النقطة التي تقسم التوزيع التكراري إلى أجزاء مئوية. و تعطى الميئينيات صورة صادقة عن ترتيب الفرد بالنسبة لأفراد مجموعته.
أما الرتبة الميئينية فهي عبارة عن مقياس لتقنين عدد الحالات التي تحتسب على أساسها الرتبة بحيث يكون لها دلالة ثابتة. و إذا كان عدد أفراد المجموعة صغيرا يمكن استخدام المعادلة التالية لحساب الرتب الميئينية :
الرتبة الميئينية =

و الرتبة الميئينية لا تكون ذات معنى إلا بالمقارنة مع أفراد المجموعة. مثلا الرتبة الميئينية لتلميذ هي مقارنة نسبية بين تحصيل هذا التلميذ و تحصيل غيره من التلاميذ الذين طبق عليهم الاختبار مثلا.









4/ مقاييس التشتت

يحتاج الباحث عادة إلى استخدام قيمة تعبر عن مدى تباعد القيم أو تقاربها في المجموعات التي يشملها البحث تماثل تماما معاملات النزعة المركزية أو المتوسطات. و أهم هذه المقاييس أو المعاملات :
1.4- الانحراف المعياري :
و يطلق على متوسط مربعات الانحرافات اسم التباين. و يطلق على الجذر التربيعي للتباين الانحراف المعياري. فالانحراف المعياري إذا هو الجذر التربيعي لمتوسط القيم عن متوسطها الحسابي. و يحسب بالمعادلة التالية :

الانحراف المعياري ( ع ) = =

إذا كانت الدرجات الخام ( س ) أرقاما صحيحة، و كان متوسطها الحسابي كذلك رقما صحيحا، يكون حساب " ع " بالمعادلة السابقة سهلا.
أما إذا كان متوسط الدرجة رقما غير صحيحا، فإنه يمكن تبسيط المعادلة السابقة باختيار متوسط فرضي تكون قيمه العددية تساوي رقما صحيحا قيمته قريبة من المتوسط الحقيقي. مثلا يمكن تقريب م= 13.1 إلى م= 13 أو م= 13.9 إلى م= 14 و هكذا. و هي في نفس الوقت القيمة التي تعبر عن المتوسط الفرضي، و في هذه الحالة يحسب " ع " بالمعادلة التالية :

ع=
حيث :
ح : المتوسط الفرضي

و في حالة حساب " ع " من جدول البيانات على أساس استخدام الفئات و الوسط الفرضي، فأنه يمكن استخدام المعادلة التالية :

ع= x ل
حيث :
ع : الانحراف المعياري
ل : سعة الفئة
ت : التكرار
ح : الانحراف عن المتوسط الفرضي

2.4 الارتباط :
يطلق على المعامل الذي يصف نوع العلاقة بين متغيرين بـ " معامل الارتباط " و تنحصر قيمته بين ( -1 و + 1 ). فإذا كانت قيمة " ر " مطردة تماما كانت قيمته = +1 ، و إذا كانت قيمته عكسية تماما كانت قيمة " ر "= - 1

- في حالة القيم الخام نستخدم المعادلة التالية :
ر=
حيث :
س : درجات الاختبار الأول مثلا
ص : درجات الاختبار الثاني
ن : عدد التلاميذ

معادلة بيرسون لحساب معامل الارتباط :

ر=
حيث :
ح س : انحراف " س " عن متوسط المتغير " س "
ح ص : انحراف " ص " عن متوسط المتغير " ص "

- أما في حالة الفئات فتستخدم المعادلة التالية :

ر=
حيث : ح س و ح ص الانحراف على مركز الفئات

5/ مقاييس الدلالة

الفروق بين المجموعات هي فروق حقيقية و تعزى إلى اثر متغيرات تجريبية، أم أنها تعزى إلى الصدفة وحدها. فإذا فرضنا أن المتوسط الحسابي لأحد المتغيرين هو " م1 " و أن المتوسط الحسابي للمتغير الثاني هو " م2 " و أن الانحراف المعياري للمتغير الأول " ع1 " و الانحراف المعياري للمتغير الثاني " ع2 "، و أن عدد الحالات هو " ن1" و " ن2 " على الترتيب :

1- إذا كان ن1 اكبر من ن2 ، يستخدم اختبار النسبة الحرجة و معادلته هي :

ت=

2- إذا كان " ن " اقل من 30 و لا توجد علاقة بين الدرجات

ت=

3- إذا كان " ن1 " = " ن2 "

ت=



أمثلة :
1- احسب " ت " للمتوسطين التاليين :
م1=56 م2=58
ن1=80 ن2=80
ع1=15 ع2=16

2- احسب " ت " للقيم التالية :
س1 : 15، 19، 18، 20، 16، 19
س2 : 12، 16، 17، 25، 14، 17

















اختبار كا2 :
فكرة هذا الأسلوب الإحصائي تقوم على أساس الفرض الصفري. و هي أن التكرار الملاحظ في الفئة أو الفئات موضع الدراسة يختلف عن التكرار المتوقع الفرضي اختلافا يرجع إلى الصدفة. و هذا يعني أن مجموعة القيم التي تلاحظ تختلف اختلافا ذا دلالة إحصائية عن مجموعة القيم التي يفترض حدوثها على أساس نظري إحصائي احتمالي معين، و معادلته كما يلي :

كا2= مج
حيث :
ك : التكرار الملاحظ( التجريبي)
ك/ : التكرار النظري ( حسب الفرض المختبر)

- و في حالة وجود درجة حرية واحدة تصبح المعادلة السابقة كالتالي :

كا2= مج

حالات كا2 :
1- الطريقة العامة لحساب كا2 للجدول التكراري ( 1x 2 )

ن=2
كا2= مج

ت و : التكرار الملاحظ
ت م : التكرار المتوقع= و عليه

مثال :
الاستجابة نعم لا المجموع
التكرار 60 20 80
المجموع 60 20 80

ت م= = 40 كا2 = =10

2- حساب كا2 للجدول التكراري ( 1x ن )

كا2= مج

الاستجابات موافق جدا لا ادري أعارض المجموع
التكرار 12 2 16 30

التكرار= 30
ت م = = 10

كا2= + + = 10.4


لا تختلف طرق حساب التكرار المتوقع مهما اختلفت قيم " ن "

تحليل التباين :
هو أسلوب إحصائي نستطيع بواسطته تحليل تجربة باستخدام مجموعات متوازية في ظروف موحدة، على أن تكون متجانسة. أن هذا الأسلوب اعم و اشمل من النسبة الحرجة و اختبار "ت " لأنهما يستخدمان في المقارنة بين مجموعتين فقط.

1- إذا كان لدينا مجموعتين فرعيتين، نستخدم المعادلة التالية لإيجاد تباين المجموعة الكلية :
ن ع2 =( ع2 1 + ن2 ) x ( ن2 2 + ن1 ف2 1 +ن2 ف2 2 )
حيث :
ع2 : تباين المجموعة الكلية ( المكونة من المجموعة 1، 2 )
ع1 : الانحراف المعياري للمجموعة الأولى
ع2 : الانحراف المعياري للمجموعة الثانية
ن : عدد حالات المجموعة الكلية
ن1 : عدد حالات المج الأولى
ن2: عدد حالات المج الثانية
ف1 : الفرق بين متوسط المج الأولى عن المتوسط العام للمج الكلية.
ف2: الفرق بين متوسط المج الثانية عن المتوسط العام للمج الكلية.

2- في حالة المجموعة الكبيرة التي تتكون من عدد العينات المتساوية في عدد الأفراد. فنستخدم المعادلة التالية :
= مج +
حيث أن :
م : متوسط العينة الكبيرة أو المتوسط العام م/ : متوسط أي عينة صغيرة
ن : عدد أفراد المجموعة الكبيرة و : عدد العينات الصغيرة
ح/ : انحراف الدرجات عن المتوسط العام ح : انحراف كل درجة عن متوسط العينة الصغيرة













2/ الإحصاء التطبيقي














أ. معاملات الارتباط ( ر ) ( R )

يستخدم معامل الارتباط عموما في الكشف عن العلاقة بين متغيرين، و عما إذا كانت هذه العلاقة موجبة أو سالبة.
- العلاقة الموجبة ( + ) : و تعني أن الزيادة في احد المتغيرين تتبعها زيادة في المتغير الأول.
مثال : حضور المحاضرات + تحصيل جيد
مواظبة العمل + زيادة في الإنتاج
- العلاقة السالبة ( - ) : تعني الزيادة في احد المتغيرين يتبعها نقصان في المتغير الثاني.
مثال : كثرة الغياب أو زيادة عدد الغيابات للعامل - نقص في الإنتاج
و هنا تعبر عن علاقة عكسية

و إحصائيا فإن هذه العلاقة تقع بين ( -1 ، +1 )، و هي في الحقيقة اقل من الواحد الصحيح دائما، لأن العلاقة التامة سواء كانت موجبة ( +1 ) أو سالبة ( -1 ) غير موجودة في العلوم الإنسانية لتغير القيم الإنسانية، لهذا فإن هناك خمسة أنواع من العلاقات :

1- التامة الموجبة 2- التامة السالبة
3- الجزئية الموجبة ( +0.42 ) 4- الجزئية السالبة - ( 0.42 )
5- العلاقة الصفرية
( أي لا توجد علاقة بين المتغيرين )







كما انه يوجد معاملات ارتباط كثيرة منها :
1- معامل ارتباط الرتب لسبيرمان
2- معاملات ارتباط بيرسون :
- معامل ارتباط بيرسون عن طريق القيم الخام
- معامل ارتباط بيرسون عن طريق الانحراف المعياري
- معامل ارتباط بيرسون عن طريق جدول الانتشار
3- معامل التوافق
4- معامل فاي
5- معامل الارتباط الثنائي


















1/ معامل ارتباط الرتب لسبيرمان ( Rank Correlation )


1.1خصوصيات :
يستخدم هذا المعامل في حالة وجود عينات صغيرة، و يعتمد في حسابه على ترتيب القيم في كل من المتغيرين موضع الدراسة، ثم حساب الفرق بينهما، ثم يتم تربيع هذا الفرق للتخلص من الإشارات. و نعبر عنه بالمعادلة التالية :
ر= 1 -

مثال :
أراد باحث أن يعرف هل هناك علاقة بين حجم أسرة العامل الصناعي و كفاءته الإنتاجية أم لا؟ أو بمعنى آخر هل كلما زاد عدد أفراد أسرة العامل كلما زادت كفاءته الإنتاجية أم العكس؟

العمال (ن) حجم الأسرة(س) الكفاية الإنتاجية(ج) رتبة ( س ) رتبة (ص) ف ف2
1 5 4 1 2 -1 1
2 2 1 4 5 -1 1
3 4 3 2 3 -1 1
4 3 5 3 1 +2 4
5 1 2 5 4 -2 4
المجموع 15 11

ر= 1- = 1- = 1- 0.55
ر= 0.45


2.1 خطوات حساب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان :

ترتب القيم ترتيبا تنازليا و تعطى الرتبة الأولى لأكبر درجة، و الرتبة الثانية لأكبر ثاني درجة و هكذا...

3.1 حساب معامل الرتب في حالة تكرار القيم :

نعطي القيمة الأولى المكررة الرتبة 2 مثلا، و القيمة الثانية الرتبة 3
مثلا :
2+3=5 /2 = 2.5

















2/ معاملات بيرسون

يختلف معامل بيرسون عن معامل ارتباط الرتب في كونه يعتمد على القيم نفسها و ليس على فكرة ترتيب القيم أو الدرجات. و في الحقيقة هي مجموعة من المعاملات نوجزها فيما يلي :
1- معامل ارتباط بيرسون عن طريق الانحرافات
2- معامل ارتباط بيرسون عن طريق القيم الخام
3- معامل ارتباط بيرسون عن طريق جدول الانتشار

1.2 - معامل ارتباط بيرسون عن طريق الانحرافات :
و هو أكثر معاملات الارتباط شيوعا في البحوث النفسية و التربوية، و هو أكثر دقة من معامل ارتباط الترب كونه يتأثر بأي تغيير في القيمة، حيث :

ر=

مثال :
ن س ص ح س ح ص ح2 س ح2 ص ح سx ح ص
1 25 50 3.25 2.5 10.56 6.25 +8.13
2 19 60 -2.75 12.5 7.56 156.25 -34.38
3 10 38 -11.75 -9.5 136.06 90.25 +111.63
4 33 42 11.25 -5.5 126.56 30.25 -61.88
مج 87 190 0 0 280.74 283 +23.5
م س = = 21.75 م ص= = 48
ر= = ر= 0.08


الخطوات التي يتم من خلالها حساب معامل الارتباط عن طريق الانحرافات :

1. جمع قيم " س " م س
2. جمع قيم " ص " م ص
3. حساب انحراف كل قيمة من قيم المتغير " س " عن متوسطها
4. حساب انحراف كل قيمة من قيم المتغير " ص " عن متوسطها
5. تربيع الانحرافات ح س ح2 س
6. تربيع الانحرافات ح ص ح2 ص
7. يتم ضرب ح س x ح ص ليتم الحصول على ح س ح ص
8. تطبق المعادلة

- معامل ارتباط بيرسون عن طريق القيم الخام :

كثيرا ما يعاب على معامل ارتباط بيرسون عن طريق الانحرافات، انه يتطلب الكثير من الخطوات و نتائجه بها كسور كثيرة. و تفاديا لوقوع الباحث في الأخطاء، نلجأ إلى حساب معامل بيرسون عن طريق القيم الخام و بالمعادلة التالية :

ر =
مثال :
ن س ص س2 ص2 س ص
1 2 3 4 9 6
2 4 5 16 25 20
3 2 1 4 1 2
4 6 7 36 49 72
5 3 4 9 16 12
ن = 5 17 20 69 100 82
بالتعويض في القانون :

ر = = ر= 0.93






تمارين 1 :

1- في دراسة على مجموعة من الأطفال، أجرى الباحث عليهم اختبارين، احدهما يقيس القدرة على التصور، و الثاني يقيس القدرة على التذكر، و كانت عدد أفراد العينة ( 10 )، و كانت درجاتهم كما يلي :
س ( التصور ) : 12 – 24 – 18 – 10 - 7 – 17 – 32 – 21 – 23 - 6
ص ( التذكر ) : 8 – 13 – 14 – 22 – 18 – 2 – 5 – 15 – 11 - 3

2- أجرى باحث بحثا على مجموعة من الذكور عددهم ( 5 ) أفراد، فطبق عليهم اختبار للشخصية لقياس الانطواء و الانبساط، و كانت درجاتهم عليهما كالتالي :
س ( الانطواء ) : 5 – 6 - 5 – 4 - 3
ص ( الانبساط ) : 12 – 11 – 10 – 11 – 8

احسب معامل الارتباط لكل من الدراستين 1 و 2

3- صنفت درجات خمسة من العمال على اختبار للذكاء إلى خمس مستويات، كما استخرجت تقديراتهم على مقياس الكفاية الإنتاجية، فكانت كما يلي :
العمال 1 2 3 4 5
الذكاء ضعيف اقل متوسط فوق المتوسط جيد جدا
الكفاية مقبول متوسط جيد جيد جدا ممتاز
المطلوب :
حساب الارتباط بين الذكاء و الكفاية الإنتاجية




تمارين 2 :

1- أجرى باحث دراسة على مجموعة من العمال للكشف عن العلاقة بين أجورهم و عدد مرات الجزاءات التي توقع عليهم، فكانت القيم التي حصلوا عليها الخمسة عشر عاملا ( 15 ) بالنسبة للأجور و الجزاءات هي :
س : 10 – 15 – 17 – 27 – 32 – 33 – 38 – 40 – 45 – 48 – 50 – 65 –
66 – 68 – 70
ص : 30 – 28 – 26 – 24 – 22 – 20 – 18 – 16 – 15 – 12 – 11 – 10 –
8 – 7 – 6
بين العلاقة بين المتغيرين بالطرق التالية :
أ‌- الرتب بين المتغيرين
ب‌- الطريقة الإحصائية

2- أراد باحث أن يعرف العلاقة بين العمر و الأجر الذي يحصل عليه الموظف في عمله، فأجرى بحثه على ( 08 ) أفراد، و كانت أعمارهم و أجورهم كما يلي :
س ( العمر ) : 50 – 48 – 45 – 43 – 38 – 35 – 25 – 20
ص ( الأجر ): 32 – 28 – 27 – 24 – 22 – 20 – 18 – 17

احسب العلاقة بين المتغيرين بنفس العلاقة السابقة.







3/ معامل التوافق

تهتم المعاملات السابقة بقياس أو إيجاد العلاقة بين المتغيرات المعبر عنها كميا، و لكن في كثير من الأحيان و بالذات في مجال العلوم الإنسانية و الاجتماعية نتعامل مع المتغيرات ذات القيم النوعية، كمحاولة إيجاد العلاقة بين لون العينين و لون البشرة لدى الأبناء بلون العينين و البشرة للآباء.

/ق=

مثال : أراد باحث أن يعرف العلاقة بين الصفات الوراثية بالنسبة للون البشرة للأبناء بلون البشرة لدى الآباء، فحصل على البيانات التالية :
الأبناء
الآباء اسمر ابيض قمحي المجموع
ابيض 2 3 5 10
اسمر 4 1 2 7
قمحي 4 6 3 13
المجموع 10 10 10 30

















في الصف الأول = = 0.38

في الصف الثاني= = 0.28

في الصف الثالث = = 0.47

مجموع الصفوف : 0.38 + 0.30 + 0.47 = 1.15

/ق= = = /ق = 0.36


خطوات حساب معامل التوافق :

1- يتم إيجاد مربع تكرار كل خلية من خلايا الجدول، ثم يتم قسمة هذا المربع على مجموع تكرارات عموده مضروبا في مجموع تكرارات صفه كما يلي :



2- يتم جمع النواتج بالنسبة لكل صف على حدى.
3- نقوم بجمع مجموع الصفوف على بعضها البعض لنحصل على مجموع الصفوف.

/ق=
حيث :
/ق : معامل التوافق
1 : مقدار ثابت
مج : مجموع الصفوف المشار إليها في 3


4/ معامل ارتباط فاي ( F )

يصلح هذا المعامل مثلا عندما يريد الباحث إيجاد العلاقة بين من أجابوا على احد الأسئلة بنعم و لا، مع من أجابوا بنعم و لا أيضا على سؤال آخر في نفس المقياس أو الاستبيان. و يعتمد هذا المعامل في حسابه على التكرارات الموجودة بجدول الانتشار.

F =

ص
س نعم لا مج
نعم أ
10 ب
5
ه
15
لا ج
5 د
10 و
15
مج ز
15 ح
15 30

F = = = = 0.33

مثال :
أراد باحث أن يعرف العلاقة بين من عولجوا بدواء و من لم يعالجوا به، و بين من شفوا و لم يشفوا من هاتين الفئتين ( أي من اخذوا الدواء و من لم يأخذوه). فكانت التكرارات كما في جدول الانتشار التالي :


ص
س شفوا
لم يشفوا مج
عولجوا أ
20 ب
18 ح
38
لم يعالجوا ج
10 د
35 ز
45
ه
30 و
53 83

F = =

F = F = 0.32